세 편의 연구 논문에 대한 인터랙티브 시각화
에피사이클로이드 경계 (Cao, Fletcher, Ye):
\[ z(\theta) = \frac{e^{id\theta} - d e^{i\theta}}{d+1}, \quad \theta \in [0, 2\pi] \]
단일 임계점을 갖는 블라슈케 곱:
\[ B_{d,w}(z) = e^{it} \left(\frac{z - w}{1 - \bar{w}z}\right)^d \]
분류: \(w\)가 \(\gamma_d\) 내부에 있으면: 타원형(elliptic); \(\gamma_d\) 위에 있으면: 포물형(parabolic); 외부(\(\mathbb{D}\) 내)에 있으면: 쌍곡형(hyperbolic).
평면 에피사이클로이드 (Barros, Ferrández):
\[ \beta_k(\theta) = \left((k+1)\cos\theta - \cos((k+1)\theta),\; (k+1)\sin\theta - \sin((k+1)\theta)\right) \]
랑크레 곡선 (일정 기울기 나선):
\[ \gamma(t) = \text{3차원 확장, } \tau/\kappa = \text{상수} \]
호프 튜브 매개변수화:
\[ X(t, u) = \gamma(t) + \rho\left(\cos u\, \mathbf{n}(t) + \sin u\, \mathbf{b}(t)\right) \]
해밀턴 에너지는 \(C(\gamma) = \int \sqrt{\kappa^2 + 4}\, ds\)입니다. 임계 곡선은 복소 이차곡면에서 극소 호프 튜브를 생성합니다.
살코프스키 곡선 (Monterde):
일정한 곡률 \(\kappa \equiv 1\), 비상수 비틀림 \(\tau(t)\).
회전 곡면 위에 존재: \(|m| > 1/\sqrt{3}\)이면 타원체, \(|m| < 1/\sqrt{3}\)이면 쌍곡면.
구면 에피사이클로이드:
\[ \begin{aligned} x(t) &= a\big((q-\cos\omega)\cos t + \cos\omega\cos(qt+t_0) + \sin t\sin(qt+t_0)\big)\\ y(t) &= a\big((q-\cos\omega)\sin t + \cos\omega\sin(qt+t_0) - \cos t\sin(qt+t_0)\big)\\ z(t) &= a\sin\omega(1 - \cos(qt)) \end{aligned} \]
전단 변환 \((x,y,z) \mapsto (x, y, cz+d)\) 하에서, 구면(또는 복소 구면) 에피사이클로이드는 살코프스키 곡선으로 매핑됩니다. 두 곡선의 \(xy\)-사영은 일치합니다.
1. 평면 에피사이클로이드 (고전):
반지름 \(R\)인 고정원 위를 반지름 \(r\)인 원이 구를 때:
\[ \begin{aligned} x(t) &= (R+r)\cos t - r\cos\left(\frac{R+r}{r}t\right)\\ y(t) &= (R+r)\sin t - r\sin\left(\frac{R+r}{r}t\right) \end{aligned} \]
여기서 \(q = \frac{R+r}{r}\)은 반지름 비율입니다.
2. 구면 에피사이클로이드 (Monterde 2024):
반지름 \(a\)인 구 위에서 정의된 확장:
\[ \begin{aligned} x(t) &= a\left[(q-\cos\omega)\cos t + \cos\omega\cos(qt+t_0) + \sin t\sin(qt+t_0)\right]\\ y(t) &= a\left[(q-\cos\omega)\sin t + \cos\omega\sin(qt+t_0) - \cos t\sin(qt+t_0)\right]\\ z(t) &= a\sin\omega(1 - \cos(qt)) \end{aligned} \]
매개변수:
주요 성질: